Two-Point Positioning Method with Magnetic Gradient Tensor Invariant Constraints
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摘要: 文中针对单点磁梯度张量定位方法受地磁场估计误差影响较大, 同时多点磁梯度张量定位方法容易陷入局部最优解等问题, 提出一种两点磁梯度张量定位方法。该方法在单点磁梯度张量定位算法的基础上, 采用两点磁梯度张量测量数据, 叠加张量几何不变量的约束条件, 构建关于目标位置坐标的非线性目标函数, 采用基于自然选择的粒子群算法对目标位置坐标进行求解。仿真实验表明, 文中提出的方法受地磁场估计误差影响较小, 且能实现对全局最优解的搜索, 定位精度较高。仿真分析不同系统基线长度和磁力仪灵敏度条件下文中方法对磁性目标的定位效果可知, 当系统的基线长度越大, 磁力仪的灵敏度越高, 磁性目标定位误差越小。Abstract: Single-point magnetic gradient tensor positioning methods are greatly affected by geomagnetic field estimation errors, and multi-point magnetic gradient tensor positioning methods are easy to get trapped in local optima. To address these issues, a two-point magnetic gradient tensor positioning method was proposed. Based on the single-point magnetic gradient tensor positioning algorithm, this method used two-point magnetic gradient tensor measurement data and superimposed the constraints of tensor geometric invariants to construct a nonlinear objective function about the target position coordinates, and it used the natural selection-based particle swarm optimization(NSPSO) algorithm to solve the target position coordinates. Simulation experiments demonstrate that the proposed method is less affected by geomagnetic field estimation errors and can search for global optima. It exhibits high localization accuracy. The simulation analysis considers the positioning performance of the proposed method for magnetic targets under different system baseline lengths and magnetometer sensitivities. The results indicate that as the system baseline length and the magnetometer sensitivity improve, the positioning error for magnetic targets decreases.
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0. 引言
舰船、水雷等铁磁性目标在地磁场的作用下不可避免地会发生磁化, 磁化后的铁磁性目标进而会影响原地磁场的分布从而产生磁异常, 该异常信号可作为磁性目标探测及定位的重要信号源。磁探测因具有无源被动探测、探测精度高、受环境影响小等优点而受到了广泛关注, 目前常用的磁场测量手段可分为标量、矢量及张量等测量方式, 标量探测具有受载体姿态影响相对较小的优点, 但是其包含的目标信息量较少; 磁梯度张量测量[1-3]因兼具矢量测量和张量测量的优势, 包含场源的信息量丰富, 同时具有受地磁场影响较小的特点, 近年来得到了飞速的发展。
由于磁梯度张量测量方式可测量包含场源在内9个分量的信息, 因此利用磁梯度张量信息对目标定位的方法已成为研究热点。早在1975年, Wynn等[2]提出一种利用磁梯度张量信息对磁偶极子进行反演定位的方法。随后, Nara等[3]提出一种利用目标磁梯度张量测量信息和矢量场信息对磁偶极子定位的方法, 该方法通过1个闭合形式的定位公式计算得到目标位置信息, 计算过程简便, 但用到的目标矢量场信息, 在地磁场背景下较难对目标产生的矢量场进行分离, 因此引入了估算误差。为了消除地磁场估算误差对定位结果的影响, 有学者提出利用高阶张量信息对目标进行定位的方法[4-8], 由于磁梯度张量进行差分后为1个小量, 受测量噪声影响较大, 因此上述方法对测量仪器的动态噪声要求较高。多名学者在单点磁梯度张量定位算法基础上, 提出了利用两点磁梯度张量信息进行定位的方法[9-11], 该方法利用目标磁矩替换目标的矢量磁场值, 构建关于目标位置参数的非线性目标函数, 通过优化算法来对参数进行求解。然而上述优化算法仅仅利用了两点间的目标位置信息及张量测量信息, 优化成功率不高, 且受初值影响较大。与此同时, 基于磁梯度张量不变量的定位方法也得到了深入研究, Wiegert等[12]提出了利用磁梯度张量不变量进行定位的方法; 吕俊伟[13]、尹刚[14]等对不变量之间满足的性质进行研究, 并提出利用不变量进行定位的方法。但是利用不变量进行实时定位所要求的磁梯度张量测量系统结构复杂, 需要的磁通门传感器数量较多, 因此需要校正的误差参数较多, 在实际应用中具有一定困难。
综上所述, 目前基于单点磁梯度张量定位方法中存在着受地磁场估计误差影响较大的问题, 同时多点定位方法中存在容易陷入局部最优解的问题, 针对此, 文中提出了一种两点磁梯度张量定位方法。该方法通过2个测量点磁梯度张量测量数据, 叠加张量不变量的约束条件, 构建关于目标位置坐标的非线性目标函数, 采用基于自然选择的粒子群优化(natural selective particle swarm optimization, NSPSO)算法对目标位置参数进行求解。
1. 磁梯度张量定位原理
1.1 磁梯度张量
磁梯度张量指的是三分量场在空间的变化率, 可表示为磁场3个分量在空间坐标系X、Y和Z方向上的偏导数, 总共包含有9个分量, 表达式如下
$$ {\boldsymbol{G}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{\partial }{{\partial x}}} \\ {\dfrac{\partial }{{\partial y}}} \\ {\dfrac{\partial }{{\partial z}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_x}}&{{B_y}}&{{B_z}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\partial {B_x}}}{{\partial x}}}&{\dfrac{{\partial {B_y}}}{{\partial x}}}&{\dfrac{{\partial {B_z}}}{{\partial x}}} \\ {\dfrac{{\partial {B_x}}}{{\partial y}}}&{\dfrac{{\partial {B_y}}}{{\partial y}}}&{\dfrac{{\partial {B_z}}}{{\partial y}}} \\ {\dfrac{{\partial {B_x}}}{{\partial z}}}&{\dfrac{{\partial {B_y}}}{{\partial z}}}&{\dfrac{{\partial {B_z}}}{{\partial z}}} \end{array}} \right] $$ (1) 在不包含传导电流的区域中, 磁感应强度的散度和旋度都为零, 因此张量无迹且对称, 即
$$ \left\{ \begin{gathered} \nabla \cdot {\boldsymbol{B}} = \dfrac{{\partial {B_x}}}{{\partial x}} + \dfrac{{\partial {B_y}}}{{\partial y}} + \dfrac{{\partial {B_z}}}{{\partial z}} = 0 \\ \nabla \times {\boldsymbol{B}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} i&j&k \\ {\dfrac{\partial }{{\partial x}}}&{\dfrac{\partial }{{\partial y}}}&{\dfrac{\partial }{{\partial z}}} \\ {{B_x}}&{{B_y}}&{{B_z}} \end{array}} \right| = 0 \\ \end{gathered} \right. $$ (2) 由式(1)和式(2)可知, 磁梯度张量的9个分量中只有5个是独立的, 通过测量这5个分量便可得到该点处的磁梯度张量。
1.2 基于磁梯度张量的目标定位算法
通常情况下, 在距离磁性目标大于其2.5倍的特征长度处, 可将磁性目标视为1个磁偶极子, 磁偶极子磁场的表达式为
$$ {\boldsymbol{B}} = \frac{\mu }{{{\text{4π}}}}\left[ {\frac{{3({\boldsymbol{m}} \cdot {\boldsymbol{r}}){\boldsymbol{r}}}}{{{r^5}}} - \frac{{\boldsymbol{m}}}{{{r^3}}}} \right] $$ (3) 式中:
$ \mu $ 为真空磁导率;$ {\boldsymbol{m}} $ 为磁性目标的磁矩;$ {\boldsymbol{r}} $ 为由磁性目标指向测量点的距离矢量; r为距离矢量r的模。Nara等[3]对磁偶极子磁场进行推导得到磁性目标的单点磁梯度张量定位公式
$$ {\boldsymbol{r}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_x}} \\ {{r_y}} \\ {{r_z}} \end{array}} \right] = - 3{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\partial {B_x}}}{{\partial x}}}&{\dfrac{{\partial {B_x}}}{{\partial y}}}&{\dfrac{{\partial {B_x}}}{{\partial z}}} \\ {\dfrac{{\partial {B_y}}}{{\partial x}}}&{\dfrac{{\partial {B_y}}}{{\partial y}}}&{\dfrac{{\partial {B_y}}}{{\partial z}}} \\ {\dfrac{{\partial {B_z}}}{{\partial x}}}&{\dfrac{{\partial {B_z}}}{{\partial y}}}&{\dfrac{{\partial {B_z}}}{{\partial z}}} \end{array}} \right]^{ - 1}} \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_x}} \\ {{B_y}} \\ {{B_z}} \end{array}} \right] $$ (4) 由上式可知, 通过单个测量点的磁梯度张量和磁场三分量测量信息可实现对磁性目标的实时定位。上述单点线性定位方法在实际应用中存在地磁场估计误差对定位结果影响较大的问题, 对此, 可利用两点磁梯度张量定位方法来解决。
2. 磁梯度张量不变量约束条件下的两点定位方法
2.1 模型建立
将式(3)变换得
$$ \begin{split} &\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_x}} \\ {{B_y}} \\ {{B_z}} \end{array}} \right] = {\boldsymbol{A}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_x}} \\ {{m_y}} \\ {{m_z}} \end{array}} \right]= \\&\dfrac{{{\mu}}}{{4{\text{π}}{r^5}}} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3{x^2} - {r^2}}&{3xy}&{3xz} \\ {3xy}&{3{y^2} - {r^2}}&{3yz} \\ {3xz}&{3yz}&{3{z^2} - {r^2}} \end{array}} \right]\cdot\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_x}} \\ {{m_y}} \\ {{m_z}} \end{array}} \right] \end{split}$$ (5) 式中, 矩阵A仅包含目标位置信息, 将式(5)代入到式(4)得
$$ {\boldsymbol{r}} = - 3{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\partial {B_x}}}{{\partial x}}}&{\dfrac{{\partial {B_x}}}{{\partial y}}}&{\dfrac{{\partial {B_x}}}{{\partial z}}} \\ {\dfrac{{\partial {B_y}}}{{\partial x}}}&{\dfrac{{\partial {B_y}}}{{\partial y}}}&{\dfrac{{\partial {B_y}}}{{\partial z}}} \\ {\dfrac{{\partial {B_z}}}{{\partial x}}}&{\dfrac{{\partial {B_z}}}{{\partial y}}}&{\dfrac{{\partial {B_z}}}{{\partial z}}} \end{array}} \right]^{ - 1}} \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{B_x}} \\ {{B_y}} \\ {{B_z}} \end{array}} \right] = - 3{{\boldsymbol{G}}^{ - 1}}{\boldsymbol{A}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_x}} \\ {{m_y}} \\ {{m_z}} \end{array}} \right] $$ (6) 式中, 矩阵A和矢量
$ {\boldsymbol{r}} $ 包含目标位置参数信息, 是需要求解的未知量, 磁梯度张量可通过传感器测量得到, 该表达式中不包含磁场矢量场信息, 因此可以避免地磁场估计误差对定位结果的影响。假设搭载有传感器的运动平台平动后进入了下一测量点$ {({x_1},{y_1},{z_1})^{\rm{T}}} $ , 两点之间的位移为$ {(\Delta x,\Delta y,\Delta z)^{\rm{T}}} $ , 则根据式(6)可得$$ {{\boldsymbol{r}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + \Delta x} \\ {y + \Delta y} \\ {z + \Delta z} \end{array}} \right] = - 3{{\boldsymbol{G}}_1}^{ - 1}{{\boldsymbol{A}}_1}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_x}} \\ {{m_y}} \\ {{m_z}} \end{array}} \right] = {{\boldsymbol{G}}_1}^{ - 1}{{\boldsymbol{A}}_1}{{\boldsymbol{A}}^{ - 1}}{\boldsymbol{Gr}} $$ (7) 式中, 两点的磁梯度张量可通过测量得到, 只有目标位置参数未知, 通过对式(7)的求解, 便可实现对目标的定位, 而式(7)是关于目标位置参数的非线性方程组, 无法直接求解其解析式, 因此构造目标函数[11]通过优化算法求解。
$$ f = \min {\left\| {{{\boldsymbol{G}}_1}{{\boldsymbol{r}}_1} - {{\boldsymbol{A}}_1}{{\boldsymbol{A}}^{ - 1}}{\boldsymbol{Gr}}} \right\|_2} $$ (8) 通过式(8)得到的目标函数容易陷入局部最优解。文献[15]研究表明, 通过叠加约束条件可以实现对全局最优解的求解。近年的研究表明, 磁梯度张量的不变量具有不受坐标系变化而改变的特性, 文献[14]对磁梯度张量以及目标位置之间存在的几何不变关系进行推导得到几何不变量。文中提出将几何不变量约束条件叠加到目标函数中, 以提高对全局最优解的搜索能力。
假设第1个测量点处的磁梯度张量G的3个特征值为
$ {\lambda _1},{\lambda _2},{\lambda _3} $ , 且$ {\lambda _1} > {\lambda _2} > {\lambda _3} $ , 对应的3个特征向量分别为$ {{\boldsymbol{V}}_1},{{\boldsymbol{V}}_2},{{\boldsymbol{V}}_3} $ , 则根据几何不变量的关系, 目标的位置矢量$ {\boldsymbol{r}} $ 与特征向量${{\boldsymbol{V}}_1}和{{\boldsymbol{V}}_3}$ 共面, 即$$ {\boldsymbol{r}} = \alpha {{\boldsymbol{V}}_1} + \beta {{\boldsymbol{V}}_3} $$ (9) 则式(9)可以变换为
$$ {{\boldsymbol{V}}_1} \times {{\boldsymbol{V}}_3}{\boldsymbol{r}} = 0 $$ (10) 叠加上述几何不变量约束后, 目标函数构造如下
$$ f = \min \left\{ {{{\left\| {{{\boldsymbol{G}}_1}{{\boldsymbol{r}}_1} - {{\boldsymbol{A}}_1}{{\boldsymbol{A}}^{ - 1}}{\boldsymbol{Gr}}} \right\|}_2} + \left| {{{\boldsymbol{V}}_1} \times {{\boldsymbol{V}}_3}{\boldsymbol{r}}} \right| + \left| {{{\boldsymbol{V}}_{1,1}} \times {{\boldsymbol{V}}_{1,3}}{{\boldsymbol{r}}_1}} \right|} \right\} $$ (11) 式中,
$ {{\boldsymbol{V}}_{1,1}},{{\boldsymbol{V}}_{1,3}} $ 分别为第2个测量点$ {({x_1},{y_1},{z_1})^{\rm{T}}} $ 处磁梯度张量对应的2个特征向量。2.2 基于NSPSO算法的参数优化方法
利用2个测量点的磁梯度张量信息对目标进行定位的问题可以归结为非线性方程组的求解问题。粒子群算法(particle swarm optimization, PSO)是一种基于群体智能的优化算法, 因具有易于操作、需要设置的参数较少、搜索效率高等优点而得到了广泛应用, 传统的PSO算法存在容易陷入局部最优解以及算法的收敛速度较慢等问题, 文中采用NSPSO算法[16]进行搜索计算, 其核心思想是在每一次迭代时将粒子群中的粒子按照适应度值从小到大进行排列, 然后用适应度值小的前一半粒子的速度和位置替换适应度值较大的后一半粒子的速度和位置, 同时保留每个粒子的历史最优, 通过上述操作可以使得粒子具有较好的优化性能, 同时提高了算法的收敛速度。
定位问题的本质是求取目标的空间坐标, 因此粒子的位置即空间中目标的坐标, 粒子的位置和速度均为3维向量。首先对粒子群中的粒子进行初始化设置, 假设粒子群中共有m个粒子, 第i个粒子的位置矢量和速度矢量分别为xi
$ ({x_{i1}},{x_{i2}},{x_{i3}}) $ 和vi$ ({v_{i1}},{v_{i2}},{v_{i3}}) $ 。由图1所示的流程图可实现对目标的定位。3. 仿真分析
3.1 不同定位方法对比
通过仿真实验分析文中方法的有效性, 仿真条件设置如下, 磁梯度张量测量系统搭载于无人水下航行器(unmanned undersea vehicle, UUV)中, 文献[17]通过仿真分析得到十字形磁梯度张量系统的系统误差最小、结构最优, 因此仿真实验中利用十字形磁梯度张量系统对目标进行定位, 如图2所示, 十字形磁梯度张量系统的基线长度(同一坐标轴上2个磁力仪之间的距离)为0.5 m, 磁力仪的灵敏度[18]为0.1 nT。地磁场的3分量分别为(29 339, 2 741, 42 323) nT, 地磁场的估计误差设为0.5%。磁性目标磁矩矢量为(4 000 000, 200 000, 100 000) Am2, 假设磁性目标位于坐标原点
$ ({\text{0, 0, 0}}) $ 处。在$ {t_0} $ 时刻, UUV位于坐标$ ( - {\text{50, }} - {\text{50, 50}})\;{\rm{m}} $ 处, UUV的速度为$ 5\sqrt 2 \;{{\rm{m / s}}} $ , 探测系统的采样率为1 Hz, 因此相邻两测量点之间的位移为$ ({\text{5,}}\;{\text{5,}}\;{\text{0}})\;{\rm{m}} $ , 仿真时根据连续2个测量点$ {t_i} $ 、$ {t_{i + 1}} $ 的测量数据计算得到$ {t_{i + 1}} $ 时刻的目标位置, 计算得到的目标定位误差如图3所示。图中: Nara方法的目标位置计算结果由式(4)得到; 原方法的目标位置计算结果利用式(8)通过NSPSO算法计算得到; 文中方法的目标位置计算结果利用式(11)通过NSPSO算法计算得到。
图 2 搭载十字形磁梯度张量系统的UUV运动示意图Figure 2. Motion of UUV equipped with a cross magnetic gradient tensor system由图3可知, 由于受到地磁场估计误差的影响, Nara方法的定位误差较大, 前10 s的平均定位误差为14.06 m; 原方法的平均定位误差为4.73 m; 文中方法的平均定位误差最小, 为3.14 m。由仿真结果可得, 原方法的目标函数容易陷入局部最优解, 第4 s时原方法的定位误差高达22.44 m, 高于Nara方法的定位误差14.71 m, 而文中方法的定位误差为4.47 m, 因此文中方法能搜索到全局最优解, 定位效果较好。
3.2 定位误差影响因素
1) 磁力仪灵敏度对定位误差的影响
仿真分析磁力仪的灵敏度分别为0.1、0.01、 0.001 nT条件下, 文中方法的定位效果, 其余的仿真条件不变, 仿真结果如图4所示。
图 4 不同磁力仪灵敏度下文中方法定位误差Figure 4. Positioning error of the proposed method under different magnetometer sensitivities由图4可知, 随着磁力仪灵敏度的提高, 定位误差不断减小, 当磁力仪灵敏度为0.1 nT时, 前10 s的平均定位误差为3.14 m, 当灵敏度为0.01 nT时, 平均定位误差减小为0.63 m, 当磁力仪的灵敏度提升至0.001 nT时, 平均定位误差为0.06 m。因此在实际探测时, 应尽可能选择灵敏度较高的磁力仪。
2) 基线长度对定位误差的影响
仿真分析系统的基线长度分别为0.25、0.5、1 m时, 文中所提定位方法对磁性目标的定位误差, 仿真中其余条件不变, 仿真结果如图5所示。
图 5 不同基线长度下文中方法定位误差Figure 5. Positioning error of the proposed method under different baseline lengths由图5可知, 随着基线长度的增加, 文中方法的定位误差不断减小, 当系统基线长度为0.25 m时, 前10 s的平均定位误差为5.72 m; 当系统基线长度增加至0.5 m时, 定位误差减小至3.14 m; 当系统基线长度增加至1 m时, 平均定位误差最小, 为2.57 m。由仿真结果可知, 要减小定位误差, 实际探测过程中应尽可能增加系统基线的长度, 但这受限于搭载平台UUV的尺寸, 因此选择合适的基线长度非常重要。
4. 结束语
文中提出了一种两点磁梯度张量定位方法, 通过连续2个测量点的磁梯度张量测量信息, 叠加磁梯度张量不变量约束条件, 建立关于目标位置的目标函数, 通过NSPSO算法求解目标位置信息。仿真实验表明, 文中所提方法能克服地磁场估计误差的影响, 实现对全局最优解的搜索, 平均定位误差小于Nara定位方法, 定位效果较好。仿真分析磁力仪的灵敏度越高, 系统的基线长度越大, 定位误差越小, 该结论可为实际磁性目标定位提供参考。磁梯度张量的几何不变量有多个, 文中所提方法中仅叠加了其中2个几何不变量, 下一步将针对不同不变量组合条件下的目标定位方法开展研究。同时, 由于搭载磁梯度张量测量系统的UUV平台的姿态在海洋环境中是动态调整的, 因此如何利用不受载体平台姿态变化影响的不变量进行定位也需进一步研究。
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图 2 搭载十字形磁梯度张量系统的UUV运动示意图
Figure 2. Motion of UUV equipped with a cross magnetic gradient tensor system
图 4 不同磁力仪灵敏度下文中方法定位误差
Figure 4. Positioning error of the proposed method under different magnetometer sensitivities
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